{l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-2y+3=0$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$3x-2y=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$3x=2y-3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

\frac{1}{3} санын 2y-3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Басқа теңдеуде \frac{2y}{3}-1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

4 санын \frac{2y}{3}-1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

\frac{8y}{3} санын 3y санына қосу.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

-4 санын -47 санына қосу.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Теңдеудің екі жағына да 51 санын қосыңыз.

$$\frac{17}{3}y=51$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{17}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=9$$

x=\frac{2}{3}y-1 теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

\frac{2}{3} санын 9 санына көбейтіңіз.

$$x=6-1$$

-1 санын 6 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+9y-141=0 мәнін 12x-8y+12=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-8y-9y+12+141=0$$

-8y санын -9y санына қосу.

$$-17y+12+141=0$$

12 санын 141 санына қосу.

$$-17y+153=0$$

Теңдеудің екі жағынан 153 санын алып тастаңыз.

$$-17y=-153$$

Екі жағын да -17 санына бөліңіз.

$$y=9$$

4x+3y-47=0 теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+3\times 9-47=0$$

3 санын 9 санына көбейтіңіз.

$$4x+27-47=0$$

27 санын -47 санына қосу.

$$4x-20=0$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$4x=20$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=9$$