{l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына y қосу.

$$3x-13+y=0$$

Екі жағына 13 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3x+y=13$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=13$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+13$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+13}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

2 санын \frac{-y+13}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

-\frac{2y}{3} санын 9y санына қосу.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{26}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{25}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

-\frac{1}{3} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{3} бөлшегіне \frac{2}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына y қосу.

$$3x-13+y=0$$

Екі жағына 13 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3x+y=13$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына y қосу.

$$3x-13+y=0$$

Екі жағына 13 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3x+y=13$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+27y=-24 мәнін 6x+2y=26 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-27y=26+24$$

2y санын -27y санына қосу.

$$-25y=26+24$$

26 санын 24 санына қосу.

$$-25y=50$$

Екі жағын да -25 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

2x+9y=-8 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

9 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$2x-18=-8$$

Теңдеудің екі жағына да 18 санын қосыңыз.

$$2x=10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-2$$