{l}{3x=4y-7}{10-y=2x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = 4 y - 7 } \\ { 10 - y = 2 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-4y=-7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$10-y-2x=0$$

Екі жағынан да 10 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-y-2x=-10$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-4y=-7,-2x-y=-10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-4y=-7$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$3x=4y-7$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-7\right)$$

\frac{1}{3} санын 4y-7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{7}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{4y-7}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x-y=-10.

$$-2\left(\frac{4}{3}y-\frac{7}{3}\right)-y=-10$$

-2 санын \frac{4y-7}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{14}{3}-y=-10$$

-\frac{8y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{14}{3}=-10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{14}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{44}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{4}{3}y-\frac{7}{3} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{3}\times 4-\frac{7}{3}$$

\frac{4}{3} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{16-7}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{3} бөлшегіне \frac{16}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-4y=-7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$10-y-2x=0$$

Екі жағынан да 10 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-y-2x=-10$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-4y=-7,-2x-y=-10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{4}{11}\\-\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\left(-7\right)-\frac{4}{11}\left(-10\right)\\-\frac{2}{11}\left(-7\right)-\frac{3}{11}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-4y=-7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$10-y-2x=0$$

Екі жағынан да 10 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-y-2x=-10$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-4y=-7,-2x-y=-10$$

3x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right),3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y=3\left(-10\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-6x+8y=14,-6x-3y=-30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -6x-3y=-30 мәнін -6x+8y=14 мәнінен алып тастаңыз.

$$-6x+6x+8y+3y=14+30$$

-6x санын 6x санына қосу. -6x және 6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y+3y=14+30$$

8y санын 3y санына қосу.

$$11y=14+30$$

14 санын 30 санына қосу.

$$11y=44$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=4$$

-2x-y=-10 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x-4=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$-2x=-6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$