{l}{3x+y=9}{2x-3y=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 9 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=9$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{3}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-3y=6$$

2 санын -\frac{y}{3}+3 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{3}y+6-3y=6$$

-\frac{2y}{3} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{11}{3}y+6=6$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{3}y=0$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=0$$

x=-\frac{1}{3}y+3 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{2}{11}\times 9-\frac{3}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=9,2x-3y=6$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$6x+2y=18,6x-9y=18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-9y=18 мәнін 6x+2y=18 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+2y+9y=18-18$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+9y=18-18$$

2y санын 9y санына қосу.

$$11y=18-18$$

18 санын -18 санына қосу.

$$11y=0$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=0$$

2x-3y=6 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x=6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=0$$