{l}{3x+y=5}{4x-y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-y=2.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=2$$

4 санын \frac{-y+5}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}-y=2$$

-\frac{4y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{20}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{20}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{2}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{1}{7}\times 2\\\frac{4}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4y=4\times 5,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$12x+4y=20,12x-3y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-3y=6 мәнін 12x+4y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+4y+3y=20-6$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+3y=20-6$$

4y санын 3y санына қосу.

$$7y=20-6$$

20 санын -6 санына қосу.

$$7y=14$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=2$$

4x-y=2 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-2=2$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$4x=4$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$