{l}{3x+y=1}{x-y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { x - y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=1,x-y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=1$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-y=9.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}-y=9$$

-\frac{y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{26}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{4}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{13}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} теңдеуінде -\frac{13}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{13}{2}\right)+\frac{1}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{13}{2} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{13}{6}+\frac{1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне \frac{13}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{2},y=-\frac{13}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=1,x-y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 9\\\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{2},y=-\frac{13}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=1,x-y=9$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+y=1,3x+3\left(-1\right)y=3\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$3x+y=1,3x-3y=27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-3y=27 мәнін 3x+y=1 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+y+3y=1-27$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y+3y=1-27$$

y санын 3y санына қосу.

$$4y=1-27$$

1 санын -27 санына қосу.

$$4y=-26$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{13}{2}$$

x-y=9 теңдеуінде -\frac{13}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\left(-\frac{13}{2}\right)=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{13}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{2},y=-\frac{13}{2}$$