{l}{3x+7y=10}{4x-19y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+7y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$3x=-7y+10$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

\frac{1}{3} санын -7y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7y+10}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

4 санын \frac{-7y+10}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

-\frac{28y}{3} санын -19y санына қосу.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{40}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{85}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{19}{85}$$

x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3} теңдеуінде \frac{19}{85} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{19}{85} санын -\frac{7}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{10}{3} бөлшегіне -\frac{133}{255} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{239}{85}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-57y=21 мәнін 12x+28y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$28y+57y=40-21$$

28y санын 57y санына қосу.

$$85y=40-21$$

40 санын -21 санына қосу.

$$85y=19$$

Екі жағын да 85 санына бөліңіз.

$$y=\frac{19}{85}$$

4x-19y=7 теңдеуінде \frac{19}{85} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

-19 санын \frac{19}{85} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{361}{85} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{956}{85}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{239}{85}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$