{l}{3x+5y=7}{2x+y=-9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=7$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+7$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+7}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

2 санын \frac{-5y+7}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

-\frac{10y}{3} санын y санына қосу.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{14}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{41}{7}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3} теңдеуінде \frac{41}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{41}{7} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{3} бөлшегіне -\frac{205}{21} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{52}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+3y=-27 мәнін 6x+10y=14 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-3y=14+27$$

10y санын -3y санына қосу.

$$7y=14+27$$

14 санын 27 санына қосу.

$$7y=41$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{41}{7}$$

2x+y=-9 теңдеуінде \frac{41}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{41}{7} санын алып тастаңыз.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{52}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$