{l}{3x+5y=39}{4x+3y=28} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 39 } \\ { 4 x + 3 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y = \frac{72}{11} = 6\frac{6}{11} \approx 6.545454545$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=39,4x+3y=28$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=39$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+39$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+39\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+39 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+13$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{3}+13 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+3y=28.

$$4\left(-\frac{5}{3}y+13\right)+3y=28$$

4 санын -\frac{5y}{3}+13 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{20}{3}y+52+3y=28$$

-\frac{20y}{3} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{11}{3}y+52=28$$

Теңдеудің екі жағынан 52 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{3}y=-24$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{72}{11}$$

x=-\frac{5}{3}y+13 теңдеуінде \frac{72}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{72}{11}+13$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{72}{11} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{120}{11}+13$$

13 санын -\frac{120}{11} санына қосу.

$$x=\frac{23}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{72}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=39,4x+3y=28$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\28\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\28\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\28\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-5\times 4}&\frac{3}{3\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\28\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\times 39+\frac{5}{11}\times 28\\\frac{4}{11}\times 39-\frac{3}{11}\times 28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{72}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{72}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=39,4x+3y=28$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\times 39,3\times 4x+3\times 3y=3\times 28$$

Қысқартыңыз.

$$12x+20y=156,12x+9y=84$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+9y=84 мәнін 12x+20y=156 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+20y-9y=156-84$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y-9y=156-84$$

20y санын -9y санына қосу.

$$11y=156-84$$

156 санын -84 санына қосу.

$$11y=72$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=\frac{72}{11}$$

4x+3y=28 теңдеуінде \frac{72}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+3\times \frac{72}{11}=28$$

3 санын \frac{72}{11} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{216}{11}=28$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{216}{11} санын алып тастаңыз.

$$4x=\frac{92}{11}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{23}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{72}{11}$$