{l}{3x+5y=21}{5x+2y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=21$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+21$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+21 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{3}+7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

5 санын -\frac{5y}{3}+7 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

-\frac{25y}{3} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

Теңдеудің екі жағынан 35 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{19}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{93}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+7 теңдеуінде \frac{93}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{93}{19} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

7 санын -\frac{155}{19} санына қосу.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+6y=12 мәнін 15x+25y=105 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25y-6y=105-12$$

25y санын -6y санына қосу.

$$19y=105-12$$

105 санын -12 санына қосу.

$$19y=93$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=\frac{93}{19}$$

5x+2y=4 теңдеуінде \frac{93}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

2 санын \frac{93}{19} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{186}{19} санын алып тастаңыз.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$