{l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 22x қосу.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x және 22x мәндерін қоссаңыз, 17x мәні шығады.

$$17x+2y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=-24$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y-24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y-24 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{3}-8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

17 санын -\frac{5y}{3}-8 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

-\frac{85y}{3} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Теңдеудің екі жағына да 136 санын қосыңыз.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{79}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{408}{79}$$

x=-\frac{5}{3}y-8 теңдеуінде -\frac{408}{79} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{408}{79} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

-8 санын \frac{680}{79} санына қосу.

$$x=\frac{48}{79}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 22x қосу.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x және 22x мәндерін қоссаңыз, 17x мәні шығады.

$$17x+2y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 22x қосу.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x және 22x мәндерін қоссаңыз, 17x мәні шығады.

$$17x+2y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x және 17x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 17 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Қысқартыңыз.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 51x+6y=0 мәнін 51x+85y=-408 мәнінен алып тастаңыз.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

51x санын -51x санына қосу. 51x және -51x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$85y-6y=-408$$

85y санын -6y санына қосу.

$$79y=-408$$

Екі жағын да 79 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{408}{79}$$

17x+2y=0 теңдеуінде -\frac{408}{79} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

2 санын -\frac{408}{79} санына көбейтіңіз.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{816}{79} санын қосыңыз.

$$17x=\frac{816}{79}$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$x=\frac{48}{79}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$