{l}{3x+4y=85}{x+y=25} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=15$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+4y=85$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$3x=-4y+85$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

\frac{1}{3} санын -4y+85 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4y+85}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=25.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

-\frac{4y}{3} санын y санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{85}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Екі жағын да -3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=10$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3} теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

-\frac{4}{3} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{85}{3} бөлшегіне -\frac{40}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=15,y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

Қысқартыңыз.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+3y=75 мәнін 3x+4y=85 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-3y=85-75$$

4y санын -3y санына қосу.

$$y=85-75$$

85 санын -75 санына қосу.

$$y=10$$

x+y=25 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+10=25$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=10$$