{l}{3x+4y=3}{8x+7y=14} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+4y=3$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$3x=-4y+3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

\frac{1}{3} санын -4y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

Басқа теңдеуде -\frac{4y}{3}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

8 санын -\frac{4y}{3}+1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

-\frac{32y}{3} санын 7y санына қосу.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{18}{11}$$

x=-\frac{4}{3}y+1 теңдеуінде -\frac{18}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{18}{11} санын -\frac{4}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

1 санын \frac{24}{11} санына қосу.

$$x=\frac{35}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

3x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

Қысқартыңыз.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24x+21y=42 мәнін 24x+32y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

24x санын -24x санына қосу. 24x және -24x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$32y-21y=24-42$$

32y санын -21y санына қосу.

$$11y=24-42$$

24 санын -42 санына қосу.

$$11y=-18$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{18}{11}$$

8x+7y=14 теңдеуінде -\frac{18}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

7 санын -\frac{18}{11} санына көбейтіңіз.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{126}{11} санын қосыңыз.

$$8x=\frac{280}{11}$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{35}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$