{l}{3x+4y=28}{9x-6y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+4y=28$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$3x=-4y+28$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

\frac{1}{3} санын -4y+28 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4y+28}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

9 санын \frac{-4y+28}{3} санына көбейтіңіз.

$$-12y+84-6y=8$$

-12y санын -6y санына қосу.

$$-18y+84=8$$

Теңдеудің екі жағынан 84 санын алып тастаңыз.

$$-18y=-76$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=\frac{38}{9}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3} теңдеуінде \frac{38}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{38}{9} санын -\frac{4}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{28}{3} бөлшегіне -\frac{152}{27} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{100}{27}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

3x және 9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 27x-18y=24 мәнін 27x+36y=252 мәнінен алып тастаңыз.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

27x санын -27x санына қосу. 27x және -27x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y+18y=252-24$$

36y санын 18y санына қосу.

$$54y=252-24$$

252 санын -24 санына қосу.

$$54y=228$$

Екі жағын да 54 санына бөліңіз.

$$y=\frac{38}{9}$$

9x-6y=8 теңдеуінде \frac{38}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

-6 санын \frac{38}{9} санына көбейтіңіз.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{76}{3} санын қосыңыз.

$$9x=\frac{100}{3}$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{100}{27}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$