{l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=-5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+4y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$3x=-4y+1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{3} санын -4y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4y+1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

2 санын \frac{-4y+1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

-\frac{8y}{3} санын 3y санына қосу.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-5$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3} санын -5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне \frac{20}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=-5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=-5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+9y=-3 мәнін 6x+8y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y-9y=2+3$$

8y санын -9y санына қосу.

$$-y=2+3$$

2 санын 3 санына қосу.

$$-y=5$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=-5$$

2x+3y=-1 теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

3 санын -5 санына көбейтіңіз.

$$2x-15=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$2x=14$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=-5$$