{l}{3x+2y=87}{5x+6y=187} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=87$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+87$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+87 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

Басқа теңдеуде -\frac{2y}{3}+29 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

5 санын -\frac{2y}{3}+29 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

-\frac{10y}{3} санын 6y санына қосу.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

Теңдеудің екі жағынан 145 санын алып тастаңыз.

$$\frac{8}{3}y=42$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{63}{4}$$

x=-\frac{2}{3}y+29 теңдеуінде \frac{63}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{63}{4} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

29 санын -\frac{21}{2} санына қосу.

$$x=\frac{37}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

Қысқартыңыз.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+18y=561 мәнін 15x+10y=435 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-18y=435-561$$

10y санын -18y санына қосу.

$$-8y=435-561$$

435 санын -561 санына қосу.

$$-8y=-126$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{63}{4}$$

5x+6y=187 теңдеуінде \frac{63}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

6 санын \frac{63}{4} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{189}{2} санын алып тастаңыз.

$$5x=\frac{185}{2}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{37}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$