{l}{3x+2y=8}{2x+3y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=8$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+8$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+8}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=9.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

2 санын \frac{-2y+8}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

-\frac{4y}{3} санын 3y санына қосу.

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{16}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} теңдеуінде \frac{11}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{11}{5} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{3} бөлшегіне -\frac{22}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+9y=27 мәнін 6x+4y=16 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-9y=16-27$$

4y санын -9y санына қосу.

$$-5y=16-27$$

16 санын -27 санына қосу.

$$-5y=-11$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+3y=9 теңдеуінде \frac{11}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

3 санын \frac{11}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{33}{5} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{12}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$