{l}{3x+2y=5}{2x-y=-3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-y=-3.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=-3$$

2 санын \frac{-2y+5}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-y=-3$$

-\frac{4y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{10}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{19}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде \frac{19}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{19}{7}+\frac{5}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{19}{7} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{38}{21}+\frac{5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{38}{21} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 5-\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=5,2x-y=-3$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x+4y=10,6x-3y=-9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-3y=-9 мәнін 6x+4y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+4y+3y=10+9$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+3y=10+9$$

4y санын 3y санына қосу.

$$7y=10+9$$

10 санын 9 санына қосу.

$$7y=19$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{19}{7}$$

2x-y=-3 теңдеуінде \frac{19}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-\frac{19}{7}=-3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{19}{7} санын қосыңыз.

$$2x=-\frac{2}{7}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{7},y=\frac{19}{7}$$