{l}{3x+2y=11}{4x+9y=117} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=11$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+11$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+11 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+11}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+9y=117.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

4 санын \frac{-2y+11}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

-\frac{8y}{3} санын 9y санына қосу.

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{44}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{307}{19}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3} теңдеуінде \frac{307}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{307}{19} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{3} бөлшегіне -\frac{614}{57} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

Қысқартыңыз.

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+27y=351 мәнін 12x+8y=44 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y-27y=44-351$$

8y санын -27y санына қосу.

$$-19y=44-351$$

44 санын -351 санына қосу.

$$-19y=-307$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=\frac{307}{19}$$

4x+9y=117 теңдеуінде \frac{307}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

9 санын \frac{307}{19} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2763}{19} санын алып тастаңыз.

$$4x=-\frac{540}{19}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$