{l}{3x+10y=40}{y=3/10x-7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 40 } \\ { y = \frac { 3 } { 10 } x - 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{55}{3} = 18\frac{1}{3} \approx 18.333333333$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{10}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+10y=40$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$3x=-10y+40$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+40\right)$$

\frac{1}{3} санын -10y+40 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-10y+40}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -\frac{3}{10}x+y=-7.

$$-\frac{3}{10}\left(-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}\right)+y=-7$$

-\frac{3}{10} санын \frac{-10y+40}{3} санына көбейтіңіз.

$$y-4+y=-7$$

y санын y санына қосу.

$$2y-4=-7$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$2y=-3$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{3}{2}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3} теңдеуінде -\frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{10}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{40}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{3}{2} санын -\frac{10}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5+\frac{40}{3}$$

\frac{40}{3} санын 5 санына қосу.

$$x=\frac{55}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{10}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-\frac{3}{10}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&-\frac{10}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{10}}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}&\frac{3}{3-10\left(-\frac{3}{10}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{3}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 40-\frac{5}{3}\left(-7\right)\\\frac{1}{20}\times 40+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{10}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{3}{10}x=-7$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+10y=40,-\frac{3}{10}x+y=-7$$

3x және -\frac{3x}{10} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -\frac{3}{10} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{10}\times 3x-\frac{3}{10}\times 10y=-\frac{3}{10}\times 40,3\left(-\frac{3}{10}\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{9}{10}x-3y=-12,-\frac{9}{10}x+3y=-21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -\frac{9}{10}x+3y=-21 мәнін -\frac{9}{10}x-3y=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}x-3y-3y=-12+21$$

-\frac{9x}{10} санын \frac{9x}{10} санына қосу. -\frac{9x}{10} және \frac{9x}{10} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-3y=-12+21$$

-3y санын -3y санына қосу.

$$-6y=-12+21$$

-12 санын 21 санына қосу.

$$-6y=9$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{3}{2}$$

-\frac{3}{10}x+y=-7 теңдеуінде -\frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{3}{2}=-7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3}{2} санын қосыңыз.

$$-\frac{3}{10}x=-\frac{11}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{10} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{55}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{55}{3},y=-\frac{3}{2}$$