{l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+10y=11$$

Теңдеудің екі жағынан 10y санын алып тастаңыз.

$$3x=-10y+11$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

\frac{1}{3} санын -10y+11 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-10y+11}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

-10 санын \frac{-10y+11}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

\frac{100y}{3} санын -8y санына қосу.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{110}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{76}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

-\frac{10}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{3} бөлшегіне -\frac{20}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

3x және -10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

Қысқартыңыз.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -30x-24y=42 мәнін -30x-100y=-110 мәнінен алып тастаңыз.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

-30x санын 30x санына қосу. -30x және 30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-100y+24y=-110-42$$

-100y санын 24y санына қосу.

$$-76y=-110-42$$

-110 санын -42 санына қосу.

$$-76y=-152$$

Екі жағын да -76 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-10x-8y=14 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-10x-8\times 2=14$$

-8 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-10x-16=14$$

Теңдеудің екі жағына да 16 санын қосыңыз.

$$-10x=30$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=2$$