{l}{3w-2z=5}{w+2z=15} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z мәнін табыңыз

$$z=5$$

$$w=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және w мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы w мәнін шешіңіз.

$$3w-2z=5$$

Теңдеудің екі жағына да 2z санын қосыңыз.

$$3w=2z+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

\frac{1}{3} санын 2z+5 санына көбейтіңіз.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{2z+5}{3} мәнін w мәнімен ауыстырыңыз, w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

\frac{2z}{3} санын 2z санына қосу.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3} теңдеуінде 5 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, w мәнін тікелей таба аласыз.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне \frac{10}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$w=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$w=5,z=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

w және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$w=5,z=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w және w мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3w+6z=45 мәнін 3w-2z=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

3w санын -3w санына қосу. 3w және -3w мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2z-6z=5-45$$

-2z санын -6z санына қосу.

$$-8z=5-45$$

5 санын -45 санына қосу.

$$-8z=-40$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$z=5$$

w+2z=15 теңдеуінде 5 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, w мәнін тікелей таба аласыз.

$$w+2\times 5=15$$

2 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$w+10=15$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$w=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$w=5,z=5$$