{l}{3u+z=15}{u+2z=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z мәнін табыңыз

$$z=3$$

$$u=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және u мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы u мәнін шешіңіз.

$$3u+z=15$$

Теңдеудің екі жағынан z санын алып тастаңыз.

$$3u=-z+15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

\frac{1}{3} санын -z+15 санына көбейтіңіз.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

Басқа теңдеуде -\frac{z}{3}+5 мәнін u мәнімен ауыстырыңыз, u+2z=10.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

-\frac{z}{3} санын 2z санына қосу.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{3}z=5$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5 теңдеуінде 3 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

-\frac{1}{3} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$u=-1+5$$

5 санын -1 санына қосу.

$$u=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=4,z=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

u және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$u=4,z=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u және u мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3u+6z=30 мәнін 3u+z=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

3u санын -3u санына қосу. 3u және -3u мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$z-6z=15-30$$

z санын -6z санына қосу.

$$-5z=15-30$$

15 санын -30 санына қосу.

$$-5z=-15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$z=3$$

u+2z=10 теңдеуінде 3 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$u+2\times 3=10$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$u+6=10$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$u=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=4,z=3$$