{l}{3u+5x=8}{5u+5x=14} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және u мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы u мәнін шешіңіз.

$$3u+5x=8$$

Теңдеудің екі жағынан 5x санын алып тастаңыз.

$$3u=-5x+8$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

\frac{1}{3} санын -5x+8 санына көбейтіңіз.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5x+8}{3} мәнін u мәнімен ауыстырыңыз, 5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

5 санын \frac{-5x+8}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

-\frac{25x}{3} санын 5x санына қосу.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{40}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{10}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3} теңдеуінде -\frac{1}{5} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{5} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{3} бөлшегіне \frac{1}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$u=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

u және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5u+5x=14 мәнін 3u+5x=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3u-5u=8-14$$

3u санын -5u санына қосу.

$$-2u=8-14$$

8 санын -14 санына қосу.

$$-2u=-6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$u=3$$

5u+5x=14 теңдеуінде 3 мәнін u мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5\times 3+5x=14$$

5 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$15+5x=14$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$5x=-1$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$