{l}{3a+2b=2}{-2a+3b=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 2 b = 2 } \\ { - 2 a + 3 b = 2 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$b=\frac{10}{13}\approx 0.769230769$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$3a+2b=2$$

Теңдеудің екі жағынан 2b санын алып тастаңыз.

$$3a=-2b+2$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{3}\left(-2b+2\right)$$

\frac{1}{3} санын -2b+2 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2b+2}{3} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, -2a+3b=2.

$$-2\left(-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}\right)+3b=2$$

-2 санын \frac{-2b+2}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}+3b=2$$

\frac{4b}{3} санын 3b санына қосу.

$$\frac{13}{3}b-\frac{4}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{4}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{13}{3}b=\frac{10}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$b=\frac{10}{13}$$

a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} теңдеуінде \frac{10}{13} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{2}{3}\times \frac{10}{13}+\frac{2}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{10}{13} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=-\frac{20}{39}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне -\frac{20}{39} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=\frac{2}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 2\\\frac{2}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{10}{13}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

3a және -2a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 3a-2\times 2b=-2\times 2,3\left(-2\right)a+3\times 3b=3\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$-6a-4b=-4,-6a+9b=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -6a+9b=6 мәнін -6a-4b=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$-6a+6a-4b-9b=-4-6$$

-6a санын 6a санына қосу. -6a және 6a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4b-9b=-4-6$$

-4b санын -9b санына қосу.

$$-13b=-4-6$$

-4 санын -6 санына қосу.

$$-13b=-10$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$b=\frac{10}{13}$$

-2a+3b=2 теңдеуінде \frac{10}{13} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2a+3\times \frac{10}{13}=2$$

3 санын \frac{10}{13} санына көбейтіңіз.

$$-2a+\frac{30}{13}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{30}{13} санын алып тастаңыз.

$$-2a=-\frac{4}{13}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$a=\frac{2}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$