{l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c, T мәнін табыңыз

$$c=3000$$

$$T=3500$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және c мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы c мәнін шешіңіз.

$$25c+22T=152000$$

Теңдеудің екі жағынан 22T санын алып тастаңыз.

$$25c=-22T+152000$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25} санын -22T+152000 санына көбейтіңіз.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

Басқа теңдеуде -\frac{22T}{25}+6080 мәнін c мәнімен ауыстырыңыз, 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11 санын -\frac{22T}{25}+6080 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

-\frac{242T}{25} санын 12T санына қосу.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

Теңдеудің екі жағынан 66880 санын алып тастаңыз.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{58}{25} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$T=3500$$

c=-\frac{22}{25}T+6080 теңдеуінде 3500 мәнін T мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, c мәнін тікелей таба аласыз.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25} санын 3500 санына көбейтіңіз.

$$c=-3080+6080$$

6080 санын -3080 санына қосу.

$$c=3000$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$c=3000,T=3500$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

c және T матрица элементтерін шығарыңыз.

$$c=3000,T=3500$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c және 11c мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 11 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 25 санына көбейтіңіз.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

Қысқартыңыз.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 275c+300T=1875000 мәнін 275c+242T=1672000 мәнінен алып тастаңыз.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

275c санын -275c санына қосу. 275c және -275c мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

242T санын -300T санына қосу.

$$-58T=1672000-1875000$$

1672000 санын -1875000 санына қосу.

$$-58T=-203000$$

Екі жағын да -58 санына бөліңіз.

$$T=3500$$

11c+12T=75000 теңдеуінде 3500 мәнін T мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, c мәнін тікелей таба аласыз.

$$11c+12\times 3500=75000$$

12 санын 3500 санына көбейтіңіз.

$$11c+42000=75000$$

Теңдеудің екі жағынан 42000 санын алып тастаңыз.

$$11c=33000$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$c=3000$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$c=3000,T=3500$$