{l}{22x+y=50}{27x-y=96} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$22x+y=50$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$22x=-y+50$$

Екі жағын да 22 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

\frac{1}{22} санын -y+50 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

27 санын -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

-\frac{27y}{22} санын -y санына қосу.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{675}{11} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{49}{22} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{762}{49}$$

x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11} теңдеуінде -\frac{762}{49} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{762}{49} санын -\frac{1}{22} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{25}{11} бөлшегіне \frac{381}{539} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{146}{49}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

22x және 27x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 27 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 22 санына көбейтіңіз.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

Қысқартыңыз.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 594x-22y=2112 мәнін 594x+27y=1350 мәнінен алып тастаңыз.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

594x санын -594x санына қосу. 594x және -594x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$27y+22y=1350-2112$$

27y санын 22y санына қосу.

$$49y=1350-2112$$

1350 санын -2112 санына қосу.

$$49y=-762$$

Екі жағын да 49 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{762}{49}$$

27x-y=96 теңдеуінде -\frac{762}{49} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{762}{49} санын алып тастаңыз.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

Екі жағын да 27 санына бөліңіз.

$$x=\frac{146}{49}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$