{l}{20x+30y=50}{x/2+y/3=5/3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 20 x + 30 y = 50 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 5 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$20x+30y=50,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$20x+30y=50$$

Теңдеудің екі жағынан 30y санын алып тастаңыз.

$$20x=-30y+50$$

Екі жағын да 20 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{20}\left(-30y+50\right)$$

\frac{1}{20} санын -30y+50 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

\frac{1}{2} санын \frac{-3y+5}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

-\frac{3y}{4} санын \frac{y}{3} санына қосу.

$$-\frac{5}{12}y+\frac{5}{4}=\frac{5}{3}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{4} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{12}y=\frac{5}{12}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{12} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{2} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне \frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$20x+30y=50,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}&-\frac{30}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}&\frac{20}{20\times \frac{1}{3}-30\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{18}{5}\\\frac{3}{50}&-\frac{12}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\times 50+\frac{18}{5}\times \frac{5}{3}\\\frac{3}{50}\times 50-\frac{12}{5}\times \frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$20x+30y=50,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

20x және \frac{x}{2} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 20 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}\times 20x+\frac{1}{2}\times 30y=\frac{1}{2}\times 50,20\times \frac{1}{2}x+20\times \frac{1}{3}y=20\times \frac{5}{3}$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=25,10x+\frac{20}{3}y=\frac{100}{3}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+\frac{20}{3}y=\frac{100}{3} мәнін 10x+15y=25 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y-\frac{20}{3}y=25-\frac{100}{3}$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-\frac{20}{3}y=25-\frac{100}{3}$$

15y санын -\frac{20y}{3} санына қосу.

$$\frac{25}{3}y=25-\frac{100}{3}$$

25 санын -\frac{100}{3} санына қосу.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{25}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{25}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{5}{3} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-1\right)=\frac{5}{3}$$

\frac{1}{3} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{1}{2}x=2$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=-1$$