{l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=3.8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2.5x+2.5y=17$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5y}{2} санын алып тастаңыз.

$$2.5x=-2.5y+17$$

Теңдеудің екі жағын да 2.5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

0.4 санын -\frac{5y}{2}+17 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+6.8$$

Басқа теңдеуде -y+6.8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

-1.5 санын -y+6.8 санына көбейтіңіз.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

\frac{3y}{2} санын -\frac{15y}{2} санына қосу.

$$-6y-10.2=-33$$

Теңдеудің екі жағына да 10.2 санын қосыңыз.

$$-6y=-22.8$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=3.8$$

x=-y+6.8 теңдеуінде 3.8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3.8+6.8$$

-1 санын 3.8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 6.8 бөлшегіне -3.8 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=3.8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

\frac{5x}{2} және -\frac{3x}{2} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1.5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2.5 санына көбейтіңіз.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3.75x-18.75y=-82.5 мәнін -3.75x-3.75y=-25.5 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

-\frac{15x}{4} санын \frac{15x}{4} санына қосу. -\frac{15x}{4} және \frac{15x}{4} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

-\frac{15y}{4} санын \frac{75y}{4} санына қосу.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -25.5 бөлшегіне 82.5 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$15y=57$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{19}{5}$$

-1.5x-7.5y=-33 теңдеуінде \frac{19}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{19}{5} санын -7.5 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{57}{2} санын қосыңыз.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -1.5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$