{l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$2y-3x=-27$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$2y=3x-27$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

\frac{1}{2} санын -27+3x санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-27+3x}{2} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

5 санын \frac{-27+3x}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

\frac{15x}{2} санын 3x санына қосу.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{135}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{21}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=7$$

y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2} теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

\frac{3}{2} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{27}{2} бөлшегіне \frac{21}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-3,x=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-3,x=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

2y және 5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10y+6x=12 мәнін 10y-15x=-135 мәнінен алып тастаңыз.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

10y санын -10y санына қосу. 10y және -10y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15x-6x=-135-12$$

-15x санын -6x санына қосу.

$$-21x=-135-12$$

-135 санын -12 санына қосу.

$$-21x=-147$$

Екі жағын да -21 санына бөліңіз.

$$x=7$$

5y+3x=6 теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y+3\times 7=6$$

3 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$5y+21=6$$

Теңдеудің екі жағынан 21 санын алып тастаңыз.

$$5y=-15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-3,x=7$$