{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 мәнін табыңыз

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x_{1} мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x_{1} мәнін шешіңіз.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Теңдеудің екі жағынан 3x_{2} санын алып тастаңыз.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

\frac{1}{2} санын -3x_{2}+7 санына көбейтіңіз.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3x_{2}+7}{2} мәнін x_{1} мәнімен ауыстырыңыз, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

4 санын \frac{-3x_{2}+7}{2} санына көбейтіңіз.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-6x_{2} санын -4x_{2} санына қосу.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Теңдеудің екі жағынан 14 санын алып тастаңыз.

$$-10x_{2}=-20$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} теңдеуінде 2 мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

\frac{7}{2} санын -3 санына қосу.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

x_{1} және x_{2} матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} және 4x_{1} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Қысқартыңыз.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x_{1}-8x_{2}=-12 мәнін 8x_{1}+12x_{2}=28 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{1} санын -8x_{1} санына қосу. 8x_{1} және -8x_{1} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

12x_{2} санын 8x_{2} санына қосу.

$$20x_{2}=28+12$$

28 санын 12 санына қосу.

$$20x_{2}=40$$

Екі жағын да 20 санына бөліңіз.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 теңдеуінде 2 мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

-4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$4x_{1}-8=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$4x_{1}=2$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$