{l}{2x-y=6}{3x-2y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=6$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

\frac{1}{2} санын y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+3\right)-2y=4$$

3 санын \frac{y}{2}+3 санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y+9-2y=4$$

\frac{3y}{2} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{1}{2}y+9=4$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{2}y=-5$$

Екі жағын да -2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=10$$

x=\frac{1}{2}y+3 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+3$$

\frac{1}{2} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=5+3$$

3 санын 5 санына қосу.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 6-4\\3\times 6-2\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$6x-3y=18,6x-4y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-4y=8 мәнін 6x-3y=18 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-3y+4y=18-8$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y+4y=18-8$$

-3y санын 4y санына қосу.

$$y=18-8$$

18 санын -8 санына қосу.

$$y=10$$

3x-2y=4 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times 10=4$$

-2 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$3x-20=4$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$3x=24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=10$$