{l}{2x-5y=4}{3x+2y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-5y=4$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$2x=5y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын 5y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{5y}{2}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=8$$

3 санын \frac{5y}{2}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=8$$

\frac{15y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{19}{2}y+6=8$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{2}y=2$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{4}{19}$$

x=\frac{5}{2}y+2 теңдеуінде \frac{4}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{4}{19}+2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{4}{19} санын \frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{10}{19}+2$$

2 санын \frac{10}{19} санына қосу.

$$x=\frac{48}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 8\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$6x-15y=12,6x+4y=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+4y=16 мәнін 6x-15y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-15y-4y=12-16$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y-4y=12-16$$

-15y санын -4y санына қосу.

$$-19y=12-16$$

12 санын -16 санына қосу.

$$-19y=-4$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{19}$$

3x+2y=8 теңдеуінде \frac{4}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{4}{19}=8$$

2 санын \frac{4}{19} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{8}{19}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{8}{19} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{144}{19}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{48}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$