{l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 10 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$2x-3y=10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3x қосу.

$$17y+3x=-11$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=10$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y+10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{2}+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

3 санын \frac{3y}{2}+5 санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

\frac{9y}{2} санын 17y санына қосу.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{43}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{52}{43}$$

x=\frac{3}{2}y+5 теңдеуінде -\frac{52}{43} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{52}{43} санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

5 санын -\frac{78}{43} санына қосу.

$$x=\frac{137}{43}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 10 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$2x-3y=10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3x қосу.

$$17y+3x=-11$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 10 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$2x-3y=10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 3x қосу.

$$17y+3x=-11$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+34y=-22 мәнін 6x-9y=30 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y-34y=30+22$$

-9y санын -34y санына қосу.

$$-43y=30+22$$

30 санын 22 санына қосу.

$$-43y=52$$

Екі жағын да -43 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{52}{43}$$

3x+17y=-11 теңдеуінде -\frac{52}{43} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

17 санын -\frac{52}{43} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{884}{43} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{137}{43}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$