{l}{2x-3y+13=0}{3x-2y+12=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 13 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 12 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y+13=0$$

Теңдеудің екі жағынан 13 санын алып тастаңыз.

$$2x-3y=-13$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y-13$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-13\right)$$

\frac{1}{2} санын 3y-13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y-13}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y+12=0.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-2y+12=0$$

3 санын \frac{3y-13}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}y-\frac{39}{2}-2y+12=0$$

\frac{9y}{2} санын -2y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y-\frac{39}{2}+12=0$$

-\frac{39}{2} санын 12 санына қосу.

$$\frac{5}{2}y-\frac{15}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{15}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{13}{2}$$

\frac{3}{2} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9-13}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{13}{2} бөлшегіне \frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)+\frac{3}{5}\left(-12\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{2}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y+3\times 13=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\times 12=0$$

Қысқартыңыз.

$$6x-9y+39=0,6x-4y+24=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-4y+24=0 мәнін 6x-9y+39=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-9y+4y+39-24=0$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y+4y+39-24=0$$

-9y санын 4y санына қосу.

$$-5y+39-24=0$$

39 санын -24 санына қосу.

$$-5y+15=0$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-5y=-15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=3$$

3x-2y+12=0 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times 3+12=0$$

-2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$3x-6+12=0$$

-6 санын 12 санына қосу.

$$3x+6=0$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$3x=-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=3$$