{l}{2x-19y=-10}{19x-18y=13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 19 y = - 10 } \\ { 19 x - 18 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{427}{325} = 1\frac{102}{325} \approx 1.313846154$$

$$y=\frac{216}{325}\approx 0.664615385$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-19y=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 19y санын қосыңыз.

$$2x=19y-10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(19y-10\right)$$

\frac{1}{2} санын 19y-10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{19}{2}y-5$$

Басқа теңдеуде \frac{19y}{2}-5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 19x-18y=13.

$$19\left(\frac{19}{2}y-5\right)-18y=13$$

19 санын \frac{19y}{2}-5 санына көбейтіңіз.

$$\frac{361}{2}y-95-18y=13$$

\frac{361y}{2} санын -18y санына қосу.

$$\frac{325}{2}y-95=13$$

Теңдеудің екі жағына да 95 санын қосыңыз.

$$\frac{325}{2}y=108$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{325}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{216}{325}$$

x=\frac{19}{2}y-5 теңдеуінде \frac{216}{325} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{19}{2}\times \frac{216}{325}-5$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{216}{325} санын \frac{19}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2052}{325}-5$$

-5 санын \frac{2052}{325} санына қосу.

$$x=\frac{427}{325}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&-\frac{-19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\\-\frac{19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}&\frac{19}{325}\\-\frac{19}{325}&\frac{2}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}\left(-10\right)+\frac{19}{325}\times 13\\-\frac{19}{325}\left(-10\right)+\frac{2}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{427}{325}\\\frac{216}{325}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

2x және 19x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 19 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$19\times 2x+19\left(-19\right)y=19\left(-10\right),2\times 19x+2\left(-18\right)y=2\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$38x-361y=-190,38x-36y=26$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 38x-36y=26 мәнін 38x-361y=-190 мәнінен алып тастаңыз.

$$38x-38x-361y+36y=-190-26$$

38x санын -38x санына қосу. 38x және -38x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-361y+36y=-190-26$$

-361y санын 36y санына қосу.

$$-325y=-190-26$$

-190 санын -26 санына қосу.

$$-325y=-216$$

Екі жағын да -325 санына бөліңіз.

$$y=\frac{216}{325}$$

19x-18y=13 теңдеуінде \frac{216}{325} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$19x-18\times \frac{216}{325}=13$$

-18 санын \frac{216}{325} санына көбейтіңіз.

$$19x-\frac{3888}{325}=13$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3888}{325} санын қосыңыз.

$$19x=\frac{8113}{325}$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$x=\frac{427}{325}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$