{l}{2x+y=4}{x+3y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=4$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=8.

$$-\frac{1}{2}y+2+3y=8$$

-\frac{y}{2} санын 3y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y+2=8$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{2}y=6$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{12}{5}$$

x=-\frac{1}{2}y+2 теңдеуінде \frac{12}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{12}{5}+2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{12}{5} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{6}{5}+2$$

2 санын -\frac{6}{5} санына қосу.

$$x=\frac{4}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-1}&-\frac{1}{2\times 3-1}\\-\frac{1}{2\times 3-1}&\frac{2}{2\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=4,x+3y=8$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+y=4,2x+2\times 3y=2\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$2x+y=4,2x+6y=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+6y=16 мәнін 2x+y=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+y-6y=4-16$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-6y=4-16$$

y санын -6y санына қосу.

$$-5y=4-16$$

4 санын -16 санына қосу.

$$-5y=-12$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{12}{5}$$

x+3y=8 теңдеуінде \frac{12}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3\times \frac{12}{5}=8$$

3 санын \frac{12}{5} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{36}{5}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{36}{5} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{4}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{4}{5},y=\frac{12}{5}$$