{l}{2x+y=18}{3x+2y=28} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=18$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+18$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+18 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+9 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=28.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

3 санын -\frac{y}{2}+9 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

-\frac{3y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

Теңдеудің екі жағынан 27 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=1$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+9 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

-\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-1+9$$

9 санын -1 санына қосу.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

Қысқартыңыз.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+4y=56 мәнін 6x+3y=54 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-4y=54-56$$

3y санын -4y санына қосу.

$$-y=54-56$$

54 санын -56 санына қосу.

$$-y=-2$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=2$$

3x+2y=28 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times 2=28$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$3x+4=28$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$3x=24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=2$$