{l}{2x+y=12}{3x-18=y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 18 = y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-18-y=0$$

Екі жағына 18 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3x-y=18$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+y=12,3x-y=18$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+y=12$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$2x=-y+12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

\frac{1}{2} санын -y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+6 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-y=18.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-y=18$$

3 санын -\frac{y}{2}+6 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}y+18-y=18$$

-\frac{3y}{2} санын -y санына қосу.

$$-\frac{5}{2}y+18=18$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{2}y=0$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=0$$

x=-\frac{1}{2}y+6 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-18-y=0$$

Екі жағына 18 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3x-y=18$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+y=12,3x-y=18$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{5}\times 12-\frac{2}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$3x-18-y=0$$

Екі жағына 18 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3x-y=18$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+y=12,3x-y=18$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 18$$

Қысқартыңыз.

$$6x+3y=36,6x-2y=36$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-2y=36 мәнін 6x+3y=36 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+3y+2y=36-36$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+2y=36-36$$

3y санын 2y санына қосу.

$$5y=36-36$$

36 санын -36 санына қосу.

$$5y=0$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=0$$

3x-y=18 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x=18$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=0$$