{l}{2x+9y=19}{4x+my=53} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+9y=19$$

Теңдеудің екі жағынан 9y санын алып тастаңыз.

$$2x=-9y+19$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

\frac{1}{2} санын -9y+19 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-9y+19}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

4 санын \frac{-9y+19}{2} санына көбейтіңіз.

$$-18y+38+my=53$$

-18y санын my санына қосу.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Теңдеудің екі жағынан 38 санын алып тастаңыз.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Екі жағын да -18+m санына бөліңіз.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} теңдеуінде \frac{15}{-18+m} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

-\frac{9}{2} санын \frac{15}{-18+m} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

\frac{19}{2} санын -\frac{135}{2\left(-18+m\right)} санына қосу.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Қысқартыңыз.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+2my=106 мәнін 8x+36y=76 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

36y санын -2my санына қосу.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

76 санын -106 санына қосу.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Екі жағын да 36-2m санына бөліңіз.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53 теңдеуінде -\frac{15}{18-m} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

m санын -\frac{15}{18-m} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{15m}{18-m} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$