{l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=259$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+259$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+259 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+259}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

199 санын \frac{-5y+259}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

-\frac{995y}{2} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{51541}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{999}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{16429}{333}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} теңдеуінде \frac{16429}{333} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{16429}{333} санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{259}{2} бөлшегіне -\frac{82145}{666} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

2x және 199x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 199 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Қысқартыңыз.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 398x-4y=2254 мәнін 398x+995y=51541 мәнінен алып тастаңыз.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

398x санын -398x санына қосу. 398x және -398x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$995y+4y=51541-2254$$

995y санын 4y санына қосу.

$$999y=51541-2254$$

51541 санын -2254 санына қосу.

$$999y=49287$$

Екі жағын да 999 санына бөліңіз.

$$y=\frac{16429}{333}$$

199x-2y=1127 теңдеуінде \frac{16429}{333} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

-2 санын \frac{16429}{333} санына көбейтіңіз.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{32858}{333} санын қосыңыз.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Екі жағын да 199 санына бөліңіз.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$