{l}{2x+5y=20}{3x-2y=11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 20 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=20$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+20$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+20\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+20 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+10$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}+10 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=11.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+10\right)-2y=11$$

3 санын -\frac{5y}{2}+10 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+30-2y=11$$

-\frac{15y}{2} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{19}{2}y+30=11$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{2}y+10 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+10$$

-\frac{5}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-5+10$$

10 санын -5 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 20+\frac{5}{19}\times 11\\\frac{3}{19}\times 20-\frac{2}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 20,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$6x+15y=60,6x-4y=22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-4y=22 мәнін 6x+15y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+15y+4y=60-22$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y+4y=60-22$$

15y санын 4y санына қосу.

$$19y=60-22$$

60 санын -22 санына қосу.

$$19y=38$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=2$$

3x-2y=11 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times 2=11$$

-2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$3x-4=11$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$3x=15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=2$$