{l}{2x+5y=2}{3x+3y=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=2$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

3 санын -\frac{5y}{2}+1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

-\frac{15y}{2} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{4}{9}$$

x=-\frac{5}{2}y+1 теңдеуінде \frac{4}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{4}{9} санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

1 санын -\frac{10}{9} санына қосу.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

Қысқартыңыз.

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+6y=2 мәнін 6x+15y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-6y=6-2$$

15y санын -6y санына қосу.

$$9y=6-2$$

6 санын -2 санына қосу.

$$9y=4$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{9}$$

3x+3y=1 теңдеуінде \frac{4}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

3 санын \frac{4}{9} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$3x=-\frac{1}{3}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$