{l}{2x+5y=17}{6y=6-5x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$6y+5x=6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=17$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+17$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+17 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+17}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

5 санын \frac{-5y+17}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

-\frac{25y}{2} санын 6y санына қосу.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{85}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{73}{13}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} теңдеуінде \frac{73}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{73}{13} санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{17}{2} бөлшегіне -\frac{365}{26} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$6y+5x=6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 5x қосу.

$$6y+5x=6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+12y=12 мәнін 10x+25y=85 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25y-12y=85-12$$

25y санын -12y санына қосу.

$$13y=85-12$$

85 санын -12 санына қосу.

$$13y=73$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=\frac{73}{13}$$

5x+6y=6 теңдеуінде \frac{73}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

6 санын \frac{73}{13} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{438}{13} санын алып тастаңыз.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$