{l}{2x+5y=14}{-2x+3y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 14 } \\ { - 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=14,-2x+3y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=14$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+14$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+14\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+14 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+7$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}+7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+3y=4.

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+7\right)+3y=4$$

-2 санын -\frac{5y}{2}+7 санына көбейтіңіз.

$$5y-14+3y=4$$

5y санын 3y санына қосу.

$$8y-14=4$$

Теңдеудің екі жағына да 14 санын қосыңыз.

$$8y=18$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{9}{4}$$

x=-\frac{5}{2}y+7 теңдеуінде \frac{9}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{9}{4}+7$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{9}{4} санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{45}{8}+7$$

7 санын -\frac{45}{8} санына қосу.

$$x=\frac{11}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{11}{8},y=\frac{9}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=14,-2x+3y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2\times 3-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14-\frac{5}{16}\times 4\\\frac{1}{8}\times 14+\frac{1}{8}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{11}{8},y=\frac{9}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=14,-2x+3y=4$$

2x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2\times 14,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$-4x-10y=-28,-4x+6y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+6y=8 мәнін -4x-10y=-28 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x-10y-6y=-28-8$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-10y-6y=-28-8$$

-10y санын -6y санына қосу.

$$-16y=-28-8$$

-28 санын -8 санына қосу.

$$-16y=-36$$

Екі жағын да -16 санына бөліңіз.

$$y=\frac{9}{4}$$

-2x+3y=4 теңдеуінде \frac{9}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+3\times \frac{9}{4}=4$$

3 санын \frac{9}{4} санына көбейтіңіз.

$$-2x+\frac{27}{4}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{27}{4} санын алып тастаңыз.

$$-2x=-\frac{11}{4}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{11}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{11}{8},y=\frac{9}{4}$$