{l}{2x+4y=5}{x=-y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 5 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына y қосу.

$$x+y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+4y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$2x=-4y+5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+5\right)$$

\frac{1}{2} санын -4y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде -2y+\frac{5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=0.

$$-2y+\frac{5}{2}+y=0$$

-2y санын y санына қосу.

$$-y+\frac{5}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{2} санын алып тастаңыз.

$$-y=-\frac{5}{2}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{2}$$

x=-2y+\frac{5}{2} теңдеуінде \frac{5}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{5}{2}+\frac{5}{2}$$

-2 санын \frac{5}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=-5+\frac{5}{2}$$

\frac{5}{2} санын -5 санына қосу.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына y қосу.

$$x+y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына y қосу.

$$x+y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+4y=5,2x+2y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+2y=0 мәнін 2x+4y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+4y-2y=5$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-2y=5$$

4y санын -2y санына қосу.

$$2y=5$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{2}$$

x+y=0 теңдеуінде \frac{5}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+\frac{5}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$