{l}{2x+4y=-4}{2x+y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=-4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+4y=-4$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$2x=-4y-4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{2} санын -4y-4 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y-2$$

Басқа теңдеуде -2y-2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=8.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

2 санын -2y-2 санына көбейтіңіз.

$$-4y-4+y=8$$

-4y санын y санына қосу.

$$-3y-4=8$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$-3y=12$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=-4$$

x=-2y-2 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

-2 санын -4 санына көбейтіңіз.

$$x=8-2$$

-2 санын 8 санына қосу.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=-4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+y=8 мәнін 2x+4y=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-y=-4-8$$

4y санын -y санына қосу.

$$3y=-4-8$$

-4 санын -8 санына қосу.

$$3y=-12$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=-4$$

2x+y=8 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-4=8$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$2x=12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-4$$