{l}{2x+3y=8}{x-y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { x - y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{38}{5} = 7\frac{3}{5} = 7.6$$

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-y=10.

$$-\frac{3}{2}y+4-y=10$$

-\frac{3y}{2} санын -y санына қосу.

$$-\frac{5}{2}y+4=10$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{2}y=6$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{12}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+4 теңдеуінде -\frac{12}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{12}{5}\right)+4$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{12}{5} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{18}{5}+4$$

4 санын \frac{18}{5} санына қосу.

$$x=\frac{38}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 10\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{5}\\-\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=8,x-y=10$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+3y=8,2x+2\left(-1\right)y=2\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$2x+3y=8,2x-2y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-2y=20 мәнін 2x+3y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+3y+2y=8-20$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+2y=8-20$$

3y санын 2y санына қосу.

$$5y=8-20$$

8 санын -20 санына қосу.

$$5y=-12$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{12}{5}$$

x-y=10 теңдеуінде -\frac{12}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\left(-\frac{12}{5}\right)=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{12}{5} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{38}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{38}{5},y=-\frac{12}{5}$$