{l}{2x+3y=8}{6x-3y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

6 санын -\frac{3y}{2}+4 санына көбейтіңіз.

$$-9y+24-3y=10$$

-9y санын -3y санына қосу.

$$-12y+24=10$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$-12y=-14$$

Екі жағын да -12 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{6}$$

x=-\frac{3}{2}y+4 теңдеуінде \frac{7}{6} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{6} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

4 санын -\frac{7}{4} санына қосу.

$$x=\frac{9}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

2x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-6y=20 мәнін 12x+18y=48 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y+6y=48-20$$

18y санын 6y санына қосу.

$$24y=48-20$$

48 санын -20 санына қосу.

$$24y=28$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{6}$$

6x-3y=10 теңдеуінде \frac{7}{6} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

-3 санын \frac{7}{6} санына көбейтіңіз.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{2} санын қосыңыз.

$$6x=\frac{27}{2}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$