{l}{2x+3y=6}{6x+5y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 6 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+5y=9.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=9$$

6 санын -\frac{3y}{2}+3 санына көбейтіңіз.

$$-9y+18+5y=9$$

-9y санын 5y санына қосу.

$$-4y+18=9$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$-4y=-9$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{9}{4}$$

x=-\frac{3}{2}y+3 теңдеуінде \frac{9}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{4}+3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{9}{4} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{27}{8}+3$$

3 санын -\frac{27}{8} санына қосу.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 5-3\times 6}&\frac{2}{2\times 5-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 9\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

2x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\times 5y=2\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$12x+18y=36,12x+10y=18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+10y=18 мәнін 12x+18y=36 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+18y-10y=36-18$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y-10y=36-18$$

18y санын -10y санына қосу.

$$8y=36-18$$

36 санын -18 санына қосу.

$$8y=18$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{9}{4}$$

6x+5y=9 теңдеуінде \frac{9}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+5\times \frac{9}{4}=9$$

5 санын \frac{9}{4} санына көбейтіңіз.

$$6x+\frac{45}{4}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{45}{4} санын алып тастаңыз.

$$6x=-\frac{9}{4}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$